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高中數學必修第一冊第五章5.5.2《簡單的三角恒等變換》導學案-2019人教A版

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1 金貝

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1、5.5.2簡單的三角恒等變換課標要求素養要求1.能用二倍角公式導出半角公式，體會其中的三角恒等變換的基本思想.2.能利用三角恒等變換對三角函數式化簡、求值和證明.在對公式的推導和應用過程中，發展學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算素養.教材知識探究同學們知道電腦輸入法中的“半角”和“全角”的區別嗎？半角、全角主要是針對標點符號來說的，全角標點占兩個字節，半角占一個字節，但不管是半角還是全角，漢字都要占兩個字節.事實上，漢字字符規定了全角的英文字符、圖形符號和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、數字鍵、符號鍵都非半角字符.問題1.任意角中是否也有“全角”與“半角”之分，二者有何數量關系？2.半角公式是如何推導出來的？3.半角公式的符號是怎樣確定的？提示1.是的半角，是2的半角.2.半角公式的推導是利用公式cos 22cos2112sin2.3.半角公式的符號是由半角所在的象限確定的.1.半角公式在利用公式時，注意符號的選取sin.cos.tan(無理形式).tan(有理形式).2.輔助角公式asin xbcos xsin(x).其中tan ，所在象限由a和b的符號確定，或者sin ，c

2、os .教材拓展補遺微判斷1.sin 15.()提示sin 15.2.對于R，sinsin 都不成立.()提示sin 2sincos，只有當cos 1時sinsin 才能成立.3.若50，cos 0，所以的終邊落在第一象限，的終邊落在第一、三象限，所以tan0，故tan2.答案2微思考1.半角公式中的符號是如何確定的？提示(1)當給出角的具體范圍時，先求的范圍，然后根據的范圍確定符號.(2)如果沒有給出決定符號的條件，那么在根號前要保留正負號.2.sin sin 2sincos除了課本上的證明方法，還有什么其它的證明方法嗎？提示右邊2sincos2sincos22sin cos2sin2sin cos2sin sin2sin sin sin 左邊.故等式成立.題型一利用半角公式求值【例1】已知cos ，為第四象限角，求sin ，cos ，tan .解為第四象限角，為第二、四象限角.當為第二象限角時，sin，cos，tan；當為第四象限角時，sin，cos，tan.規律方法利用半角公式求值的思路(1)觀察角：若已知三角函數式中的角是待求三角函數式中角的兩倍，則求解時常常借助半角公式求解.

3、(2)明范圍：由于半角公式求值常涉及符號問題，因此求解時務必依據角的范圍，求出相應半角的范圍.(3)選公式：涉及半角公式的正切值時，常用tan，其優點是計算時可避免因開方帶來的求角的范圍問題；涉及半角公式的正、余弦值時，常先利用sin2，cos2計算.(4)下結論：結合(2)求值.【訓練1】已知sin ，3，則tan的值為()A.3 B.3 C. D.解析3，sin ，cos ，tan3.答案B題型二三角函數式的化簡【例2】化簡：(0).解原式.因為0，所以0, 所以sin0，cos 0，由半角公式可得sin .答案A2.下列各式與tan 相等的是()A. B.C. D.解析tan .答案D3.設56，cosa，則sin等于()A. B.C. D.解析56，0，bR)，則A_，b_.解析2cos2xsin 2xcos 2xsin 2x1sin1，A，b1.答案15.化簡：.解原式.基礎達標一、選擇題1.函數y3sin 4xcos 4x的最大值是()A. B.2C.3 D.6解析y3sin 4xcos 4x22sin，ymax2，故選B.答案B2.已知sin 2，則cos2()A. B

4、.C. D.解析cos2.答案D3.在ABC中，若sin Asin Bcos2，則ABC是()A.等邊三角形 B.等腰三角形C.不等邊三角形 D.直角三角形解析sin Asin B(1cos C)，即2sin Asin B1cos C，2sin Asin B1cos Acos Bsin Asin B，故得cos(AB)1，又因為AB(，)，AB0，即AB，則ABC是等腰三角形.答案B4.函數f(x)(1cos 2x)sin2x(xR)是()A.最小正周期為的奇函數B.最小正周期為的奇函數C.最小正周期為的偶函數D.最小正周期為的偶函數解析由題意，得f(x)(1cos 2x)(1cos 2x)(1cos22x)sin22x(1cos 4x).又f(x)f(x)，所以函數f(x)是最小正周期為的偶函數，選D.答案D5.若cos ，是第三象限角，則等于()A. B. C.2 D.2解析是第三象限角，cos ，sin ，tan 3，.答案A二、填空題6.化簡的結果是_.解析|sin 1cos 1|，因為1(0，)，所以sin 10，cos 10，則sin 1cos 1.答案sin 1cos 17.在ABC中，若cos A，則sin2cos 2A_.解析sin2cos 2A2cos2A12cos2A1.答案8.函數f(x)sin2xsin xcos x1的最小正周期為_.解析f(x)sin2xsin xcos x1sin 2x1(sin 2xcos 2x)sin，T.答案三、解答題9.在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos A，求證.證明因為cos A，所以1cos A，1cos A，所以，而tan2，tan2，所以tan2tan2，即.10.已知為鈍角，為銳角，且sin ，sin ，求cos 與tan的值.解因為為鈍角，為銳角，sin ，sin ，所以cos ，cos .所以cos()cos

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